Derivada

Podemos definir a la derivada de una función y = f(x) en el punto x = x₀
La derivada de una función en un punto de su dominio como el límite de su cociente incremental
cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.

Cociente incremental Δx / Δy= f(x) - f(x₀)
                                                        x - x₀

Derivada de una función en un punto

lim_x→0       Δy/ Δx=lim_x→x0       f(x) -f (x₀) =         f´(x₀)
                                                      x - x₀

Calcular la derivada de la f tal que x→ x³ - 3 es decir Y= f(x) = x³ - 3 en el punto = 2

f(x₀ ) = f (2) = 2³ - 3 = 5

Incremento de la función

f(2 + Δx)³ - 3 - [ x³ - 3]

Siendo x = 2

Se desarrolla el cuatrinomio cubo perfecto

2³ + 3 .2².Δx + 3. 2 .(Δx)² + (Δx)³ - 3

8 + 12 Δx + 6 Δx² + Δ x³ - 3

5 + 12 Δx + 6 Δx² + Δ x³

∴ Δy = f ( x₀ + Δx ) - f( x₀ ) = ( 2 + Δx ) - f(2)

=   5 + 12 Δx + 6 Δx² + Δ x³ -   5 

∴ Δy = f ( 2 + Δx) - f (2) = 12 Δx + 6 Δx² + Δ x³

El cociente incremental

Δy / Δx = f(2 + Δx) - f(2) = 12 Δx + 6 Δx² + Δ x³ =
                             Δx                         Δx  

= 12 + 6 Δx + Δx²

La derivada en el punto x₀ = 2 es:

f' (2) = lim_{Δx → 0}       f ( 2 + Δx) - f(2)  = lim_{Δx → 0} ( 12 + 6 Δx + Δx² ) = 12
                                                  Δx    

El número 12 es la derivada de la función

f(x) = x³ - 3 en el punto 2

Derivada de la función potencial

• f(x) = x⁴⇒   f'(x) = 4 x^{4 - 1} = 4 x³
• f(x) = x ^{- 2} ⇒  f'(x) = -2 x ^{- 2 - 1} = - 2 x^{- 3}
• f(x) = 1 = x^{- 3}   ⇒ f'(x) = - 3 x ^{-3 - 1} = - 3x^{- 4}
            x³
• f(x) = √³x = x^1/3 ⇒ f'(x) = 1/3x^{1/3 - 1} = 1/3x^{- 2/3}

Tabla de derivadas

Derivada de una suma de funciones

(f + g)^' = f^' + g^'

Derivada de la resta de funciones

(f - g)^' = f^' - g ^'

Derivada del producto de funciones

(f . g )^' f^' . g + g^' . f

Derivada del cociente de funciones

f =     f^' . g - g^' . f
g            g²

Derivadas sucesivas

y = 2x³ - 4x + 3
y^' = 6x² - 4
y^'' = 12x
y^''' = 12     a partir de esta derivada, las sucesivas derivadas valen 0

Derivación en cadena

In sen( x² - x + 3)=

[In sen( x² - x + 3)]´=

       __1______      .    cos ( x² - x + 3)              . ( 2x - 1 )                               
sen( x² - x + 3)
1ª derivada del logaritmo        2ª derivada del seno      3ª derivada del polinomio     ;  

Derivar

    √e^cosx    
 ____________
cose^x. √senx

f´(x) = ( √e^{cos x}). cos e^x . √sen x - √e^{cos x} . ( cos e^x . √sen x)
              _________________________________________
                                              (cos e^x .√sen x)²

= 1 / 2 √e^{cos x} . e^{cos x} . cos e^x. . √sen x   -      √e^{cos x}    (   cos e^x.). √sen x +      cos e^x. (  √sen x ) )
___________________________________________________________________________
                                             cos² e^x      . (  √sen x)²

- 1 / 2 √e^{cos x} . e^{cos x}   sen x . cos e^x.  √sen x  -    √e^{cos x} .( - sen  e^x.e^x.√sen x + cos e^x . cos x/ 2√senx
_______________________________________________________________________________
                                                 cos² e^x  . sen x                        

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