Factoreo de expresiones algebraicas

Primer caso

Factor común

9 + 15 - 12 +27

• Figura el factor común 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:

9 + 15 - 12 + 27 = 3. ( 3 + 5 - 4 + 9 )

• En el polinomio 3 x + xb - 1/2 xc el factor común es x y se tiene :

3x + xb - 1/2xc = x.( 3 + b - 1/2c)

• En el polinomio 2x⁴a - 4x³a²b + 1/2 xa⁵c

Sacando factor común x a se tiene:

2x⁴a - 4x³a²b + 1/2 xa⁵c = xa: ( 2x - 4x²ab + 1/2a⁴c )

• Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común,dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Segundo caso

Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

• Saco el factor común de cada grupo

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(a + b) . ( 2x -y +5 )

• Regla: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común.Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis,se la saca,a su vez,como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado.

Tercer caso

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Es un trinomio cuadrado perfecto

• El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)² = 36x²; el último es el cuadrado de y², pues (y²)² = y⁴, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 6x por y²,pues 2 × 6x × y² = 12xy²

• En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:

Cuarto caso

Cuatrinomio cubo perfecto

Todo cuatrinomio de la forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³ en el que dos términos:
a³ y b³, son cubos perfectos; el tercer término : 3a²b, es el triplo del cuadrado de la base del primer término por la base del segundo, y el cuarto término 3ab²,es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo

Es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:

x³ = (x)³
8y³ = ( 2y )³
6x²y = 3.(x)².2y
12xy² = 3.x.(2y)²

Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo de un binomio :

En el caso de una resta :

Quinto caso

Diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo:

Sexto caso